Показано с 1 по 17 из 17

Тема: Ликбез по мощности множеств.(Вод по матану)

  1. #1
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    396
    Итак, начнём. <br />есть конечные множества. мощность множества, в случае конечных - это то, сколько в них содержится элементов.<br /><br />переходим к бесконечным множеством.<br /><br />мощность множества натуральных чисел {1,2,3....} будем называть счётной.<br /><br />два множества называются равномощными, если существует биекция(взаимно-однозначное отображение) одного множества на другое.<br /><br />то есть правило, согласно которому каждому элементу первого множества поставлен в соответствие ровно один элемент второго.<br /><br />разберёмся. видим, что никакое конечное множество не равномощно бесконечному, а так же неравномощны два конечных множества с разным числом элементов.<br /><br />теперь. всевозможные примеры счётных множеств.<br />а) множество всех чётных чисел. искомая биекция: 1-2, 2-4, 3-6 и так далее. то есть каждому числу из натуральных сопоставляется вдвое большее его. видим, что действительно, каждому элементу - ровно один элемент сопоставлен. то есть в каком-то смысле чётных чисел столько же, сколько и всех.<br /><br />б) имеющее отношение к выниманию шаров: чисел вида 10,20,30,40,...<br />тоже столько же, сколько и натуральных. биекция: 1-10, 2-20, 3-30, ...<br /><br />то есть, нельзя сказать, что множество (1,2,3,4...) мощнее (10,20,30),<br />они равномощны. при этом, на взгляд, второе составлено лишь из каждого десятого члена первого множества, а тем не менее. <br /><br />в) квадраты натуральных чисел: 1,4,9,16 - их вообще очень мало. а тем не менее, это множество равномощно натуральным тоже.<br /><br /><br />!!!! вообще - критерий бесконечности множества: множество бесконечно в том и только том случае, когда содержит свою часть(подмножество), которое равномощно ему самому !!!<br /><br />следующая мощность за счётным - континуум. это, например, множество точек на отрезке.<br /><br />которое равномощно: множеству точек на прямой, точек в квадрате, точек в трёхмерном(обычном) пространстве. <br /><br />при желании я могу доказать, что континуум и счётное не равномощны.<br /><br />все множества из задачи про шары - равномощны друг другу, что множество вынутых шаров, что множество засунутых, по пункту б. и все эти множества счётны.<br /><br /><br />теперь что касается кардиналов. кардинальное число это, строго говоря, класс эквивалентности равномощных множеств. <br /><br />в этом посте уже упомянались кардиналы:<br />1, 2, 3,4... (то есть для 1-элементных множеств, 2х элементных и т.п)<br /><br />кардинал, который мы назовём \&quot;счётный\&quot;<br />и, наконец, континуум.<br /><br />континуум - это первый за счётным больший его кардинал.<br /><br />как нетрудно видеть, если к счётному множеству добавить в элементы ещё одно счётное множество (напр, к чётным-нечётные числа), получится опять счётное.<br /><br />вообще, сколько бы раз мы не прибавляли к счётному счётные, получим снова счётное.<br /><br />более того, если счётное количество раз сложить счётные множества, всё равно будет счётное множество.<br /><br />любая мысль отсюда может быть доказана, снабжена примерами или пояснена по желанию.<br /><br />и ещё есть куча ссылок на эту тему.

  2. #2
    Новобранец
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    62
    Вроде грамотно все написал. Я честно говоря не совсем в теме, но написано доступно, логично. Я даже удивлен-), это +1.<br /><br />Но про шары ты все-таки не прав. То есть твой ответ неправильный.

  3. #3
    Освоившийся
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    100
    Вод - это видео!

  4. #4
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    396
    ага. бельгийский корабль затонул в нейтральных водах.<br /><br />знаю, но так смешнее.

  5. #5
    Активный участник Аватар для 451F
    Регистрация
    17.05.2010
    Адрес
    Ukraine
    Сообщений
    784
    хорошо. но есть множества конечные, но не счетные - например множество дробей от 0 до 1. какова его мощность ?
    Close the world, open the nExt

  6. #6
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    549
    <!--QuoteBegin sirvff --><div class="title_quote">Цитата: sirvff</div><div class="quote"><!--QuoteEBegin-->!!!! вообще - критерий бесконечности множества: множество бесконечно в том и только том случае, когда содержит свою часть(подмножество), которое равномощно ему самому !!!<!--QuoteEnd--></div><!--QuoteEEnd--><br />Как-то странно получается. Множество А - тоже подмножество А. Тогда любое множество бесконечно. Наверное имеется ввиду за вычетом конечного количества элементов.

  7. #7
    Активный участник Аватар для 451F
    Регистрация
    17.05.2010
    Адрес
    Ukraine
    Сообщений
    784
    <!--QuoteBegin Commander_Duck --><div class="title_quote">Цитата: Commander_Duck</div><div class="quote"><!--QuoteEBegin-->Множество А - тоже подмножество А. Тогда любое множество бесконечно<!--QuoteEnd--></div><!--QuoteEEnd--><br />нет, так как у конечного счисленного множества его подмножество имеет меньшую мощность чем оно само
    Close the world, open the nExt

  8. #8
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    549
    еще раз: есть множествно {1, 2, 3}. Его подмножество {1, 2 ,3} имеет такую же мощность, как и исходное множество.

  9. #9
    Активный участник Аватар для 451F
    Регистрация
    17.05.2010
    Адрес
    Ukraine
    Сообщений
    784
    насколько я помню курс математического анализа, множество А является подмножеством множества Б тогда и только тогда, когда А входит в Б, но не наоборот
    Close the world, open the nExt

  10. #10
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    549
    Неа. Википедия тому подтверждение. Никакого \&quot;наоборот\&quot; нет, иначе кучу теорем звучало бы по-другому<br /><br />Правильно было бы звучать так:<br />критерий бесконечности множества: множество бесконечно в том и только том случае, когда содержит собственное подмножество, которое равномощно ему самому<br /><br />Собственное, это когда не нулевое и не равно исходному множеству

  11. #11
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    396
    Отвечаю.<br /><br />\&quot;хорошо. но есть множества конечные, но не счетные - например множество дробей от 0 до 1. какова его мощность ?\&quot;<br /><br />во-первых, это множество бесконечное. Конечность множества определяется не тем, длинный ли участок оно занимает на числовой прямой, а тем, конечно ли в нём элементов.<br /><br />поэтому на вопрос о том, конечно ли множество рациональных чисел из отрезка 0-1, ответ явно такой - бесконечно, хотя бы потому, что там есть числа вида единица на эн, где эн - любое. Так же, на самом деле, это множество счётно - то есть дроби можно перенумеровать. <br /><br /> например, так: каждой дроби сопоставим число: числитель+знаменатель в квадрате. таким образом, разным дробям сопоставлены разные натуральные числа (и даже не все натуральные использованы!). есть и другие примеры, можно нумеровать дроби по возрастанию знаменателей.<br /><br /><br />теперь.<br />да, ты прав, нужны собственные подмножества.

  12. #12
    Освоившийся
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    107
    <!--QuoteBegin sirvff --><div class="title_quote">Цитата: sirvff</div><div class="quote"><!--QuoteEBegin-->нейтральных водах.<!--QuoteEnd--></div><!--QuoteEEnd--><br />Это у тебя типа нейтральный ВОД?

  13. #13
    Освоившийся
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    128
    VOD по матану конечно нашел отклик в умах коммьюнити.<br />Зачем останавливаться на достигнутом?<br />Пусть самые эрудированные популярно изложат:<br />* как бухать не напиваясь встельку<br />* как как снять бабу на ночь не потратив денег и что бы жена не запалила<br />* как спорить, что бы тебя поняли и с тобой согласились<br /><br />Ну или хотябы полутарачасовой VOD \&quot;как набить С- 5м пулом\&quot;

  14. #14
    Активный участник Аватар для 451F
    Регистрация
    17.05.2010
    Адрес
    Ukraine
    Сообщений
    784
    <!--QuoteBegin BuG --><div class="title_quote">Цитата: BuG</div><div class="quote"><!--QuoteEBegin-->* как бухать не напиваясь встельку<br />* как как снять бабу на ночь не потратив денег и что бы жена не запалила<br />* как спорить, что бы тебя поняли и с тобой согласилис<!--QuoteEnd--></div><!--QuoteEEnd--><br />НЛП в помошь )
    Close the world, open the nExt

  15. #15
    Освоившийся
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    233
    <!--QuoteBegin BuG --><div class="title_quote">Цитата: BuG</div><div class="quote"><!--QuoteEBegin-->VOD по матану конечно нашел отклик в умах коммьюнити.<br />Зачем останавливаться на достигнутом?<br />Пусть самые эрудированные популярно изложат:<br />* как бухать не напиваясь встельку<br />* как как снять бабу на ночь не потратив денег и что бы жена не запалила<br />* как спорить, что бы тебя поняли и с тобой согласились<!--QuoteEnd--></div><!--QuoteEEnd--><br /><br />И как долго не кончать! ахахаха)))

  16. #16
    Активный участник
    Регистрация
    17.05.2010
    Сообщений
    396
    сначала нужно 3000 задачек по соответствующим темам.

  17. #17
    Активный участник Аватар для 451F
    Регистрация
    17.05.2010
    Адрес
    Ukraine
    Сообщений
    784
    пришло время пересдач? )))
    Close the world, open the nExt

Информация о теме

Пользователи, просматривающие эту тему

Эту тему просматривают: 1 (пользователей: 0 , гостей: 1)

Ваши права

  • Вы не можете создавать новые темы
  • Вы не можете отвечать в темах
  • Вы не можете прикреплять вложения
  • Вы не можете редактировать свои сообщения
  •